차원정리

Youtube  이상엽Math 선생님의 선형대수학 강의를 보면서 정리한 내용 입니다.

유한차원 벡터공간 $V$와 Linear map(선형사상) $L: V \rightarrow W$에 대하여 다음이 성립한다.

$dim(V) = dim(kerL) + dim(imL)$

즉, Vector space $V$의 차원은 선형사상의 Kernel(핵)의 차원 + 선형사상의 Image(상)의 합으로 표현이 가능하다.

이제 이에 대한 증명을 해 볼 것인데, 먼저 차원을 얘기하려면 필히 등장해야 하는 것이 Basis (기저) 이다.
왜냐하면 이 Basis의 원소의 개수가 결국 차원에 해당하기 때문이다. 그러므로 $V$의 Basis에 대해 알아보고 나머지 $KerL$과 $imL$의 Basis에 대해 알아보는 것으로 증명을 시작한다.

Proof. V의 Basis를 다음과 같이 나타내면,

$B_v = \{V_1, \cdots ,V_n\}$

$KerL$ 즉, 선형사상의 핵은 그 정의에 따라 $L(v) = \overrightarrow{0}$이 되도록하는 $v$의 집합이므로 $kerL$은 $V$의 부분집합이 된다. 즉,

$kerL \subset V$

이므로 $kerL$의 Basis $B_{kerL}$은 $B_v$의 일부가 된다.

$B_{kerL} = \{V_1, \cdots , V_k\},$            $k<n$

이제 $B_{imL}$이 $B_v$의 나머지 $\{k+1, \cdots, n\}$ 까지의 빈 부분을 채워 주면 위의 정리가 성립함을 증명할 수 있다. 
어쨌든 차원을 결정함에 있어서 중요한 것은 Basis의 개수 이므로  n에서 k를 뺀 나머지의 원소개수를 Image의 Basis가 갖고 있음을 보여주면 된다.

이때  Basis의 정의를 살펴보면
Vector space $V$의 부분집합 $B$가 선형독립이고 $V$를 Span(생성)할 때, B를 V의 Basis라 한다.

그러므로 n에서 k뺀 나머지 원소 개수로 이루어진 $\{L(V_{k+1}), L(V_{k+2}), \cdots, L(V_n)\}$ 가 서로 선형독립이고 $B_{imL}$에 해당하는 모든 원소가 $\{L(V_{k+1}), L(V_{k+2}), \cdots, L(V_n)\}$로 Span이 되어야 한다. 

먼저 Span에 관해서 증명을 하면, 

Linear Map $L$의 Image원소 즉, $imL$에서 임의의 원소($L(v)$)를 가져온다.

$\forall L(v) \in imL,  v = c_1v_1+c_2v_2+\cdots+c_kvk+c_{k+1}v_{k+1}+\cdots+c_nv_n$라고 할 때,

$L(v) = L(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)$이 되고, Linear Map 의 Additivity(가산성) 성질에 따라 

$L(v)=L(c_1v_1)+\cdots+L(c_nv_n)$ 이 된다. 이때 kernel은 linear map의 결과가 0 vector가 되에 하는 집합이므로 $L(c_1v1)+\cdots+L(c_kv_k)$는 0이 되고 결국 

$L(v) = L(c_{k+1}v_{k+1}+\cdots+L(c_nv_n)$이 되고, Linear Map의 Homogeneity(동차성) 성질에 따라
$L(v) = c_{k+1}L(v_{k+1}) + \cdots c_nL(v_n)$으로 표현할 수 있다.

즉, 임의의 $L(v)$를 가져왔을 때, $L(v)$의 원소들이 $L(v_{k+1})$부터 $L(v_n)$까지의 선형결합으로 표현이 된다. 따라서 

$Span\{L(v_{k+1}),\cdots,L(v_n)\} = imL$

임이 성립한다.

다음으로 선형독립에 관하여는