수치해석 기법-1. Euler Integration

 

기본참고 교재 : Fundamentals of Kalman Filtering : A Practical Approach (Paul Zarchan & Howard Musoff)

Numerical analysis is the study of algorithms that use numerical approximation for the problems of mathematical analysis.

위키피디아에 나온 수치해석이란 용어의 정의 인데요. 잘 읽어보면,  어떠한 문제의 수학적 분석을 위해, 수치적 근사값을 구하는 것. 이라고 말할 수 있는데요 주로 미분방정식의 해를 구할 때 아마 수치해석이란 용어를 많이 들어 보셨을 거에요.

이번에는 다양한 수치해석의 방법 중 간단하지만 주로 쓰이는 Euler integration과 2nd-order Runge Kutta integration 에 대해 알아보겠습니다.

 

1. Euler Integration 

오일러 적분은 위에서 얘기했듯이 수치적 근사값을 구하는 적분 방법의 하나 입니다.

여기서 수치적 근사값이란 뭘까요? 아래와 같은 그림의 곡선을 생각해 봅시다.

 

그림에서 빗금친 부분의 면적을 구하려면 어떻게 해야할까요? 쉽게 생각하면 적분을 하면되죠? 그럼 이 적분은 어떻게 계산이 될까요?

빗금친 부분을 작은 사각형으로 쪼개어 그 사각형을 각각 더하는 방법을 배웠을 거에요 그 방법이 바로 오일러 적분입니다. 아래그림처럼 말이죠.

 

다음과 같은 1차 미분 방정식을 생각해 봅시다.

 

이는 미분의 정의에 따라 다음과 같이 나타낼 수 있죠,

 

작은 h에 대해 다시 나타내면 아래와 같고 바로 이 공식이 오일러 적분 공식입니다.

 

위 식에서 hf(x,t) 는 노란색 사각형의 면적이란걸 알 수가 있죠.  아래 그림을 다시 살펴볼까요? 위의 식과 한번 비교해 보겠습니다.

 

 

즉,  1번까지의 적분결과는 0+1번의면적,

2번까지의 적분결과는 1번까지의 적분결과(0+1번의면적) + 2번의면적

3번까지의적분결과는  2번까지의 적분결과(1번의면적 + 2번의면적) + 3번의 면적 이라는걸 알수있어요.

 

다음 글에선 이 오일러 적분을 MATLAB simulation을 통해 증명해 보도록하겠습니다.

 

2014/04/28 - [Programming & Engineering] - 수치해석 기법-2. Euler Integration by MATLAB