ROS2 × PX4로 시작하는 자율비행 드론 제어 (7-1) 쿼드로터 운동 모델 - 파라미터와 모터 모델

이 블로그 시리즈에서는 Gazebo + ROS 2 + PX4(MAVROS)를 활용해 드론을 제어하고, 최적 제어 알고리즘 Model Predictive Path Integral (MPPI) 를 직접 구현하는 과정을 기록합니다. 이후에는 더 진화된 강화학습(RL) 기반 제어로까지 확장하며, 최신 오픈소스 생태계가 실제 연구·개발 파이프라인에서 어떻게 유기적으로 엮이는지 보여드릴 예정입니다.

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이번 글에서는 지난 글까지 이론으로 다졌던 드론의 ‘운동 모델’을 단계별로 설명하면서 실제 코드로 옮겨보겠습니다. 이전 글에서 설명드린것 처럼 MPPI 컨트롤러는 "지금 입력을 주면 0.5초 뒤엔 어디 있을까?"를 수백 번 계산해 가장 좋은 입력을 고르는 방법입니다. 이러한 예측을 해주는 블랙박스가 바로 오늘 만들어 볼 운동모델입니다. 이를 통해 모터 PWM → 추력·토크 → 가속도·속도·위치가 전부 계산되고, MPPI·MPC 등 어떤 컨트롤러도 붙일 수 있습니다.

초보자 팁: 만약 드론이나 로보틱스에 처음이시라면, 운동 모델이란 드론의 움직임을 물리 법칙(뉴턴의 법칙 등)으로 예측하는 '수학적 시뮬레이터'예요. 마치 게임에서 캐릭터가 점프할 때 중력을 계산하는 거랑 비슷해요. 이 글에서 나오는 수식들은 단계별로 풀어 설명할 테니, 천천히 따라오세요. 배경 지식이 부족하다면 시리즈 첫 글부터 읽어보는 걸 추천합니다!

1. 파라미터 정리: 드론의 물리적 특성 한눈에 보기

드론의 운동 모델을 만들기 전에, 드론의 기본 '스펙'을 정리 하겠습니다. 이 값들은 실제 드론(여기선 X500 모델)을 기반으로 하였습니다. 이 테이블을 보면서 "드론이 왜 이런 값이 필요한가?"를 생각해보세요. 예를 들어, 질량(mass)은 드론이 얼마나 무거운지, 그래서 추력이 얼마나 세야 떠오를 수 있는지를 결정합니다.

변수	값 (예시)	의미
기체 관련
mass	2.0 kg	추력 → 가속도 $a=F/m$ 변환
Ixx, Iyy, Izz	0.022 · 0.022 · 0.040 kg·m²	롤·피치·요 축 관성
arm_length	0.24 m	모터축 ↔ 기체 중심 거리
모터 관련
motor_constant (k_f)	8.55×10−68.55×10^{-6} N/(rad/s)²	RPM² → 추력
moment_constant (k_m)	0.016 N·m/(rad/s)²	RPM² → 반작용 요 토크
max_rot_velocity	1000 rad/s	실제 모터의 회전 속도 한계 반영

질량과 관성

• $mass$: 우리가 시뮬레이션에서 사용하는 드론은 2 kg짜리 X500 모델 입니다. 예: 2kg 드론에 20N 추력을 주면 가속도는 10m/s² (위로 솟아오름) (F=ma --> a=F/m).
• 관성 $I_{xx} = I_{yy}$​ 는 드론의 프레임이 좌우 대칭이어서, 롤(좌우 기울기) · 피치(앞뒤 기울기) 움직임이 비슷하다는 뜻입니다.
• $I_{zz}$​ 가 더 큰 이유는 모터와 프로펠러가 수평으로 퍼져 있어서 회전 중심으로부터의 거리가 더 멀기 때문입니다. (마치 피겨 스케이터가 팔을 벌리면 회전이 느려지는 원리)

팔 길이 (arm_length = 0.24 )

• “모터축에서 기체 중심” 거리 입니다. 이 길이는 롤과 피치 토크를 힘으로 바꿀 때 지렛대 역할을 합니다. 예: 문을 밀 때 손잡이 끝에서 밀면 쉽게 열리듯, 팔이 길면 적은 힘으로 큰 회전 가능.
• 24 cm 라면 500 급 프레임에 딱 맞는 크기 입니다. 보통 팔 길이 *2 해서 기체의 크기를 따집니다. (이경우에는 240*2: 480 -> 500 급)

중력 벡터 g

• 지구의 중력 가속도(-9.81 m/s²)를 z축에 적용합니다. ENU 좌표계(동쪽-북쪽-위)를 따라 z축의 위쪽이 (+)이고 아래쪽이 (-)로 설정됩니다. 이 값은 시뮬레이션마다 항상 더해져 추력이 없을 경우 드론이 땅으로 끌려 내려가게 만듭니다. 예: 드론이 떠 있으려면 추력이 중력만큼 세야 하죠 (호버링 상태).

모터·프로펠러 상수

• motor_constant ($k_f$)는 모터 RPM²을  추력 N(뉴턴)으로 바꾸는 비율 입니다
• moment_constant ($k_m$) 은 RPM²을 토크 N·m로 바꾸는 비율 입니다. 이 값들은 실제 프로펠러 테스트나 System ID 로 실측·식별해야 합니다.
• time_constant_up(0.0125초), time_constant_down(0.025초): 모터가 속도를 올릴 때(가속)와 내릴 때(감속)의 반응 속도 입니다. 가속 (전류를 공급받아 모터를 가속)이 감속 (프로펠러의 관성과 공기저항) 보다 빠른 게 일반적이죠. 이 값 덕에 모터가 현실처럼 부드럽게 반응합니다.
• max_rot_velocity (1000 rad/s ≈ 9500 RPM): 모터가 터무니 없이 빠르게 돌지 않도록 제한하는 안전장치 입니다.
• motor_directions [+1, +1, −1, −1]: 앞오른쪽과 뒤왼쪽 모터는 반시계 (CCW), 나머지는 시계 (CW) 방향으로 회전합니다. 요 토크를 계산할 때 각 모터의 회전 부호가 필요합니다.

실제 드론을 이용한 실험에서는 $k_f, k_m, I_{xx}...$ 등의 값은 모두 실측된 값으로 넣어주어야 합니다. 우리는 gazebo simulation에서 x500기체를 활용해 먼저 실험할 것이므로 시뮬레이션 상에 구현된 값을 넣어주겠습니다. 

1. x500 기체 모델: [기체 무게, $I_{xx}, I_{yy}, I_{zz}$, arm 길이] 등이 정의 되어 있음

2. x500 모터 모델: [$k_f, k_m$, 모터 최대 회전속도] 등이 정의 되어 있음

그리고 이를 코드로 구현하면 다음과 같습니다.

import numpy as np

class QuadcopterDynamics:
    """쿼드로터 운동 모델"""
    
	def __init__(self):
        # Physical parameters
        self.mass = 2.0  # kg
        self.Ixx = 0.0216667  # kg⋅m²
        self.Iyy = 0.0216667  # kg⋅m²
        self.Izz = 0.04  # kg⋅m²
        self.arm_length = 0.24  # m
        self.max_thrust = 20.0  # N
        self.min_thrust = 0.0  # N
        self.g = np.array([0, 0, -9.81])  # m/s²
        
        # Motor parameters
        self.motor_constant = 8.54858e-06
        self.moment_constant = 0.016
        self.time_constant_up = 0.0125
        self.time_constant_down = 0.025
        self.max_rot_velocity = 1000.0
        self.motor_directions = np.array([1, 1, -1, -1])  # CCW/CW
        self.motor_speeds = np.zeros(4)

테스트

# 드론 초기화
drone = QuadcopterDynamics()

# 파라미터 확인
print(f"질량: {drone.mass} kg")
print(f"롤 관성: {drone.Ixx} kg·m²")
print(f"팔 길이: {drone.arm_length} m")

2. 모터모델: 제어 입력을 모터 속도로 바꾸기 - 뇌의 명령을 근육으로!

드론은 4개의 모터로 움직입니다. 그런데 MPPI로부터 나오는 제어 입력은 다음과 같습니다. $u$: 총 추력 T, 롤 Mφ, 피치 Mθ, 요 Mψ. 결국 제어기는 드론에게 이렇게 말하는 것과도 같습니다.

"너가 앞으로 떠오르려면 총 몇 N의 힘이 필요하고, 몸을 얼마나 기울이고, 또 얼마나 회전해야 해"
> "총 추력 15N, 롤 5° 기울어, 피치 2° 숙여, 요 10° 회전해"

하지만 드론은 이 말을 못 알아듣습니다. 드론이 할 수 있는 건 각 모터를 얼마나 빨리 돌려라 뿐이죠. 결국, 각 모터의 회전속도(RPM)를 바꾸는 것입니다. 따라서 우리는 제어 입력을 4개 모터의 속도로 바꾸는 함수를 만들어야 합니다. 이 과정을 6단계로 나누어 설명드리겠습니다.

• 총 추력 클리핑: 비현실적인 입력은 잘라내기
  먼저, 입력으로 받은 총 추력 $u[0]$값이 너무 작거나 (음수) 크면 (드론의 실제 최대추력 이상) 미리 걸러냅니다. 드론은 공기 속에서 작동하는 실제 물체이기 때문에 역추력(음수)은 물리적으로 불가능하고, 너무 큰 추력도 모터의 한계를 초과할 수 있기 때문입니다.
  •  min_thrust = 0.0  → 역추력 방지
  •  max_thrust = 20.0 N  → 모터한계 설정

thrust = np.clip(u[0], self.min_thrust, self.max_thrust)

• 토크를 힘으로 변환
  입력으로 들어온 롤, 피치, 요의 회전 토크는 각 모터가 얼마만큼 더 돌거나 덜 돌아야 하는지로 바꿔야 합니다.
  • 롤/피치 모멘트는 드론 중심에서의 팔 길이를 기준으로 환산합니다. 팔이 길수록 적은 힘으로도 큰 회전이 생깁니다.
  • 요 모멘트는 모터 4개가 각각 회전 방향이 반대여서, 네 개의 회전 방향을 균등하게 고려해야 합니다.

roll_effect  = u[1] / (2 * self.arm_length)
pitch_effect = u[2] / (2 * self.arm_length)
yaw_effect   = u[3] / (4 * self.moment_constant)

• 추력과 모멘트 조합
  각 모터에 “총 추력의 ¼”에 모멘트 효과를 더하거나 빼서 힘을 분배해요.

self.motor_speeds[0] = thrust/4 + roll_effect + pitch_effect + yaw_effect
self.motor_speeds[1] = thrust/4 + roll_effect - pitch_effect + yaw_effect
self.motor_speeds[2] = thrust/4 - roll_effect + pitch_effect - yaw_effect
self.motor_speeds[3] = thrust/4 - roll_effect - pitch_effect - yaw_effect

• 회전 방향 적용
  CCW 모터는 +1, CW 모터는 -1로 부호를 곱해요. 이렇게 해야 나중에 RPM²로 계산할 때 요 토크가 제대로 상쇄됩니다.
• RPM 상한 클리핑
  모터가 물리적으로 불가능한 속도로 돌지 않도록 최대 회전 속도(1000 rad/s)로 제한해요. 이걸 안 하면 시뮬레이터가 터무니없는 명령을 시도할 수 있어요.

# 회전 방향 (CCW/CW) 적용
self.motor_speeds *= self.motor_directions

# 최대 속도 제한 (음수는 0으로 클리핑)
self.motor_speeds = np.clip(self.motor_speeds, 0, self.max_rot_velocity)

• 결과 반환
  네 모터의 RPM을 배열로 반환해요. 이 값은 다음 0.05초 동안 “이 속도로 돌았다”고 가정합니다.

전체코드는 다음과 같습니다.

  def motor_model(self, u):
        """Convert control inputs to motor speeds."""
        # u[0] is thrust, u[1:4] are roll, pitch, yaw moments
        thrust = np.clip(u[0], self.min_thrust, self.max_thrust)
        
        # Convert moments to motor speeds
        roll_effect = u[1] / (2 * self.arm_length)
        pitch_effect = u[2] / (2 * self.arm_length)
        yaw_effect = u[3] / (4 * self.moment_constant)
        
        # Calculate individual motor speeds
        self.motor_speeds[0] = thrust/4 + roll_effect + pitch_effect + yaw_effect
        self.motor_speeds[1] = thrust/4 + roll_effect - pitch_effect + yaw_effect
        self.motor_speeds[2] = thrust/4 - roll_effect + pitch_effect - yaw_effect
        self.motor_speeds[3] = thrust/4 - roll_effect - pitch_effect - yaw_effect
        
        # Apply motor direction and limits
        self.motor_speeds *= self.motor_directions
        self.motor_speeds = np.clip(self.motor_speeds, 0, self.max_rot_velocity)
        
        return self.motor_speeds

테스트

# 드론 초기화
drone = QuadcopterDynamics()

# 테스트 1: 호버링 (추력만, 토크 없음)
hover_thrust = drone.mass * 9.81  # 19.62N
u_hover = np.array([hover_thrust, 0, 0, 0])
motor_speeds = drone.motor_model(u_hover)

print("호버링:")
print(f"모터 속도: {motor_speeds} rad/s")
print(f"모든 모터가 같은 속도로 회전해야 함: {np.allclose(motor_speeds, motor_speeds[0])}")

# 테스트 2: 롤 제어 (왼쪽 기울이기)
u_roll = np.array([hover_thrust, 2.0, 0, 0])  # +2N·m 롤토크
motor_speeds_roll = drone.motor_model(u_roll)

print("\n롤 제어 (왼쪽):")
print(f"왼쪽 모터(3,4)가 더 빨라야 함")
print(f"모터1: {motor_speeds_roll[0]:.1f} rad/s")
print(f"모터2: {motor_speeds_roll[1]:.1f} rad/s")
print(f"모터3: {motor_speeds_roll[2]:.1f} rad/s (더 빠름)")
print(f"모터4: {motor_speeds_roll[3]:.1f} rad/s (더 빠름)")

결과

호버링:
모터 속도: [476. 476. 476. 476.] rad/s
모든 모터가 같은 속도로 회전해야 함: True

롤 제어 (왼쪽):
왼쪽 모터(3,4)가 더 빨라야 함
모터1: 416.7 rad/s
모터2: 416.7 rad/s
모터3: 535.2 rad/s (더 빠름)
모터4: 535.2 rad/s (더 빠름)